三种统计模型的区别与联系
北京航空航天大学物理学院 郝维昌
一个物理系统由N个粒子组成，总能量为E，存在i个能级，第i能级能量为εi，第i能级存在gi态，若把ni个粒子分配给gi态上，约束条件：
1) Bose-Einstein statistics （波色-爱因斯坦统计）
粒子不可分辨，每个态上粒子数不受限制，第i个能级上的状态数
总的微观状态数i种状态数联乘
当粒子数很大时
拉格朗日乘子法，在约束条件下使Ω分布最大化，其变分为零
因此，能量为εi的第i个能级的微观状态分布函数为
取消粒子数的限制α=0
令
- 2) Fermi-Dirac statistics （费米-狄拉克统计）
把ni粒子分配到gi态上，粒子不可分辨且一个态只能存在一个粒子(Pauli不相容)，第i个能级上的状态数
总的微观状态数
同样适用拉格朗日乘子法
因此，能量为εi的第i个能级的微观状态分布函数为
- 3) Boltzman-Maxwell statistics（玻尔兹曼–麦克斯韦统计）
把ni粒子分配到gi态上，粒子在每个态上数目不受限制且粒子是可分辨态，第i个能级上的状态数
N个粒子，当不同粒子交换后存在不同微观状态，同一个能级ni粒子，粒子交换不改变分布，因此有因子
，总的微观状态数
同样利用拉格朗日乘子法
因此，能量为εi的第i个能级的微观状态分布函数为
由此可见经典系统不一定比量子简单，很多时候我们之所以对量子系统或者量子力学的理解不够深刻，源于我们对经典物理的一知半解。
上面的分析太数学了，下面举一个具体的例子进行说明。
某一物理系统中第i个能级中存在3个态(gi=3), 有2个粒子（ni=2）需要分配到这三个态上，看一下第i能级最终状态数wi
（1） 玻色子(粒子不可分辨用两个粒子均表示为A，两个粒子可以存在于同一个态上)
|
微观状态 | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情况枚举 | AA | ||
AA | |||
AA | |||
A | A | ||
A | A | ||
A | A |
（2） 费米子(粒子不可分辨用两个粒子均表示为A，由于泡利不相容原理两个粒子不能存在于同一个态上)
|
微观状态 | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情况枚举 | A | A | |
A | A | ||
A | A |
（3） 玻尔兹曼统计（粒子不可分辨用两个粒子分别表示为A、B，两个粒子可以存在于同一个态上）
|
微观状态 | g1 | g2 | g3 |
粒子分布情况枚举 | AB | ||
AB | |||
AB | |||
A | B | ||
B | A | ||
A | B | ||
B | A | ||
A | B | ||
B | A |
留给朋友们一个问题，为何这些统计模型都是指数函数？玻尔兹曼统计与玻色统计和费米统计之间内在联系是什么？
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
